Gerald

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Gerald（1982年出生的美国前职业篮球运动员）- 搜狗百科

杰拉德·华莱士（GeraldWallace，1982年7月23日-），美国阿拉巴马州锡拉科加人，前美国男子篮球运动员，司职小前锋。杰拉德·华莱士曾效力于萨克拉门托国王队、山猫队、开拓者、篮网、76人...详情职业生涯生涯数据荣誉记录个人生活搜狗百科推荐您搜索大家还在搜gerald怎么读电影geraldgerald英文名寓意gerald翻译成中文gerald是什么意思中文gerald博士gerald阿萨莫阿gerald名字寓意mt gerald面料gerald wallace球员gerald gentagerald读音cali danger

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Gerald是什么意思

n. 杰拉尔德(男子名,义为勇敢的战士) 畅通词汇 英文词源Geraldmasc. proper name, introduced into England by the Normans, from Old French Giralt , from Old High German Gerwald , "spear-wielder," from Proto-Germanic *girald , ...2025-12-09推荐您搜索[Gerald实分析译本]0.3势设和是非空集合，我们定义 来表示存在分别为单射、双射、满射。 用 分别表示单射但不是双射，满射但不是双射()。注意到当单独存在时我们还未赋予它一个定义，我们有许多种方法来给它定义，但大多无益于我们的目标（除了当是有限集时）。我们可以将上述关系扩展到空集，此时对任意非空集我们有 空集空集 在本节的剩余部分我们假定讨论的集合都为非空以避免对空集的讨论，现在我们的首要任务是明我们所使用的符号（不等号及等号）适用于上述定义的关系。 0.6命题： 当且仅当 明：设为单射，选取一点，并按如下方式定义：若，则，否则，可得是满射。相反地，若是满射，则集合非空且不交，所以任意的为从到的单射。 0.7命题：对任意集合，有或成立。 明：考虑所有从的子集到的单射的集合,中的元素可认为是的子集，所以可通过包含关系得到它的偏序关系。应用佐恩引理，有一个最大元，其是从到的单射。若存在和，则可令，使得可被扩充为一个从到的单射，与最大元相矛盾。因此要么，此时，要么，此时。 0.8伯恩斯坦定理(The Bernstein Theorem)：若且，则。 明：令和为单射，考虑一点：若，我们有；若，我们有，以此类推。此过程要么无限进行，要么由于存在元素属于而终止，要么存在元素属于而终止，我们认为上述三种情况下的分别属于，因此为的不交并。同理，为的不交并。显然是到的满射，也是到的满射，是到的满射，因此若我们定义映射：若，则；若，则，则是双射。 0.9命题：对任意集合， 若，则称是可数的(countable/denumerable)。特殊地，所有有限集是可数的，对于它们，将quot;quot;翻译为中的元素个数是方便的： 当且仅当 若是可数的但不是有限的，我们称是可数无限(countably infinite)的。 0.10命题： a. 若和是可数的，则也可数 b. 若是可数的，并且对于所有的，可数，则可数 c. 若是可数无限的，则 明：对于(a)，我们只需明可数，我们可以通过列举定义一个从到的双射。对于，有属于的元素，其中满足，按升序排列： 对于(b)，对每个有满射，因此是满射，由(a)得。 对于(c)，我们只需假设为的无限子集，令为的最小元，归纳定义为 \ 的最小元，则易得为到的双射。 0.11推论：和是可数的 明：为可数集、、的并；定义满射。得。 若，则称有连续统势(cardinality of the continuum)，用字母表示。 0.12命题： 明：设，按如下方式定义：若是无限集，则；若是有限集，则，则为单射。另一方面，按如下方式定义：若有下界，则，否则，易得为满射。由伯恩斯坦定理， 0.13推论：若，则不可数。 明：应用命题0.9。 0.14命题 a.若且，则 b.若，并且对于所有的，，则 明：对于(a)只需取，定义，易得映射为双射。(b)同命题0.10绝对值的小屋·微信公众号2025-10-06推荐您搜索[Gerald实分析译本]0.6度量空间集合上的度量(metric)是一个函数，使得 当且仅当 对所有的,有 对所有的，有 直觉上，可理解为从到的距离。被赋予一个度量的集合称为度量空间(metric space)。下面是一些例子： 欧氏距离为上的一个度量。 和为上连续函数空间上的度量。 若为上的度量且，则为上的度量。 设为两个度量空间，则如下定义上的乘积度量(product metric)： 有时上还可使用其他度量，例如 或 这两个度量与乘积度量等价，我们将在本节的最后说明此概念。 令为度量空间，若，则定义 为的半径为的开球(open ball). 若对任意的，存在使得则称是开的(open)，若它的补集是开的，则称它是闭的(close)。例如，由于若，令，则，所以是开的。另外，（全集）和空集即开又闭。显然任意开集族的并是开的，任意闭集族的交是闭的。另外，任意有限开集族的交是开的，任意有限闭集族的并是闭的。事实上，设是开的，，对每一个，存在，使得，令，则，所以是开的。 设，中所有开集的并集为中最大的开集，称为的内部(interior)，记为；类似地，包含的所有闭集的交为包含的最小闭集，称为的闭包(closure)，记为。若，则称在中稠密(dense)，若的内部为空集，则称为无处稠密(nowhere dense)。若有一个可数稠密子集，则称为可分的(separable)。（例如为中的可数稠密子集）。若，则中的序列收敛到。 0.22命题：为一个度量空间，，则下面的结论等价：（1）。（2）  对所有的，不为空集。（3） 在中有序列收敛到。 明：设为空集，则为包含但不含的闭集，所以。反过来，设，由于为开集，所以存在使得，所以（1）与（2）等价。设（2）成立，则对每个，存在，使得。另一方面，若为空集，则对任意的，有，故中没有序列可收敛到，所以（2）与（3）等价。 设为两个度量空间，映射，若对任意的，存在，使得当时，有，换句话说，即，则称在连续。若在所有的处连续，则称连续，若定义中的的选择不依赖于，则称一致连续(uniformly continuous)。 0.23命题：连续当且仅当对任意的开集，为中的开集。 明：若后者成立，那么对任意的和，为开集并且包含，故包含的某个开球，所以在处连续。相反地，假设连续并且为上的开集，对任意的，存在使得，且对于每个，存在，使得，所以为开集。 对于度量空间中的序列，若当时，有，则称其为柯西列(Cauchy)。设，若中的所有柯西列收敛且极限还在内，则称是完备的plete)。例如，（赋予欧氏度量）是完备的，但不完备。 0.24命题：完备度量空间的闭子集完备，任意度量空间的完备子集是闭的。 明：设是完备的，是的闭子集，为中的柯西列，其在中有极限，根据命题0.22，，故完备。设是完备的，，由命题0.22，有中的序列收敛于，为柯西列，故其极限在内，所以，为闭集。 在度量空间中，我们可以定义点到集合的距离和两个集合间的距离。即若且， 由命题0.22得当且仅当，我们还可定义的直径(diameter)： 若则称有界(bounded)。 若，是一个集族，使得，则称是的一个覆盖(cover)。若对任意,可被有限多个半径为的球覆盖，则称为完全有界的(totally bounded)。由于若，不妨设，则 所以完全有界一定有界，但反过来不一定。由于若，则，故若完全有界，则完全有界。 定理0.25：若为度量空间的子集，则如下结论等价：（1）是完备且完全有界的。（2）(The Bolzano-Weierstrass Property)中的所有数列有收敛到中某点的子列。（3）(The Heine-Borel Property)若为的一个开覆盖，则有有限集使得覆盖。 明：我们首先明（1）与（2）等价，然后由（1）和（2）推出（3），最后由（3）推出（2）。 由（1）到（2）：假设（1）成立，为中的数列。可被有限多个半径为的球覆盖，并且对于无限多个，至少有一个球包含：比如说，对于，有。可以被有限多个半径为的球覆盖，并且对于无限多个，它们中至少有一个球包含：比如说，对于，有。归纳进行此过程，我们得到一个球列（半径为）和中递减的子集列，使得对于，有。取使得。由于当时，，故为柯西列，由于是完备的，所以该柯西列在中有极限。 由（2）到（1）：我们明若（1）不成立，则（2）不成立。若不完备，则有中的柯西列在中无极限。的任意子列在中也不收敛，否则整个数列将收敛到相同的极限。另一方面，若不是完全有界的，令，使得不能被有限多个半径为的球覆盖。如下归纳地选择：首先任意选择，并假设已选好，选 \ 。则对于所有的，有，故没有收敛的子列。 由（1）（2）到（3）：只需明若（2）成立且为的一个开覆盖，则存在使得所有与相交的半径为的球被包含在某些中（因由（1）知可被有限个球覆盖）。假设对每个，存在半径为的球，使得非空，且不被包含在任何中。取，我们可认为收敛到某个。对某个，有，又是开的，所以存在，使得。若足够大使得且，则，与我们对的假设相矛盾。 由（3）到（2）：设是中没有收敛子列的数列，则对每个，存在以为中心的球只包含中的有限个（否则存在子列收敛到）。那么是的一个没有有限子覆盖的覆盖。 一个具有上述性质（1）/（2）/（3）的集合称为是紧的pact)，所有的紧集是有界闭集（由命题0.24可得），有界闭集是紧集在上成立但在一般的空间中不一定成立。 0.26命题：所有中的有界闭集是紧的。 明：由于的闭子集是完备的，只需明的有界子集是完全有界的。又所有的有界集可被包含在某个立方体 中，故只需明是完全有界的。给定，选取整数，通过将区间等分从而将分为个全等的小立方体。这些小立方体的边长为，因此直径为，所以它们可被包含在半径为的球内。 是集合上 的两个度量，若存在，有 则称这两个度量等价(equivalent)。 容易验等价的度量可导出相同的开集、闭集、紧集、柯西列、连续的映射、一致连续的映射。大多数与度量空间相关的结论不依赖于具体的度量，而是某个等价类。绝对值的小屋·微信公众号2025-10-12推荐您搜索

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